2015年04184线性代数(经管类)复习资料-线性代数重难点解析与全真练习4

山西自考网 发布时间:2015年01月16日
一、重点
  1、理解:向量、向量运算以及向量的线性组合与线性表出,极大线性无关组的概念,线性相关与线性无关的概念,向量组的秩的概念,矩阵的秩的概念及性质,基础解系的概念。
  2、掌握:向量的运算及运算规律,矩阵秩的计算,齐次、非齐次线性方程组解的结构。
  3、运用:线性相关、线性无关的判定,线性方程组解的判断,齐次、非齐次线性方程组的解法。
二、难点
  线性相关、线性无关的判定。向量组的秩与矩阵的秩的关系。方程组与向量组线性表示及秩之间的联系。
三、重点难点解析
  1、 n维向量的概念与运算
  1) 概念
  2) 运算
  若α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T
  ①加法:α+β=(a1+b1 ,a2+b2 ,…,an+bn)T
  ②数乘:kα=(ka1,ka2,…,kan)T
  ③内积:(α。β)=a1b1+a2b2+,…,+anbn=αTβ=βTα
  2、线性组合与线性表出
  3、线性相关与线性无关
  1)概念
  2)线性相关与线性无关的充要条件
  ①线性相关
  α1,α2,…,αs线性相关
  <==>齐次方程组(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0有非零解
  <==>向量组的秩r(α1,α2,…,αs)<s (向量的个数)
  <==>存在某αi(i=1,2,…,s)可由其余s-1个向量线性表出
  特别的:n个n维向量线性相关<==>│α1α2…αn│=0
  n+1个n维向量一定线性相关
  ②线性无关
  α1,α2,…,αs线性无关
  <==>齐次方程组(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0只有零解
  <==>向量组的秩r(α1,α2,…,αs)=s (向量的个数)
  <==>每一个向量αi(i=1,2,…,s)都不能用其余s-1个向量线性表出
  ③重要结论
  A、阶梯形向量组一定线性无关
  B、若α1,α2,…,αs线性无关,则它的任一个部分组αi1,αi2,…,αi t必线性无关,它的任一延伸组必线性无关。
  C、两两正交,非零的向量组必线性无关。

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