山西自考-线性代数(经管类)复习资料下载1

山西自考网 发布时间:2012年06月05日

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第四部分 线性方程组

   本章讨论线性方程组,对齐次方程组主要是讨论齐次方程组有非零解的充要条件,基础解系的概念,解的性质,以及求基础解系和通解的方法。对非齐次方程组主要讨论何时有解?何时解惟一?何时有无穷多解?有无穷多解时,如何求通解。
  
  4.1 齐次线性方程组
  
  4.1.1 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
  
  齐次线性方程组的一般形式是
   
  用矩阵也可简写成
  Ax=0
  其中  。
  我们要讨论的问题是:该齐次方程组有非零解的充分必要条件。
   令 为矩阵A的列向量,则该齐次方程组又可以写成
   ,其中
  
   则齐次方程组有非零解的充分必要条件就是向量组 线性相关,用矩阵的秩来描述就是该线性方程组的系数矩阵 的秩r(A)<n,其中n是未知数的个数。于是有下面的定理
  定理4.1.1 齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是r(A)<n,其中n是未知数的个数(也是矩阵A的列数)。
  等价的说法是
  齐次线性方程组AX=0只有零解,没有非零解的充分必要条件是r(A)=n。
  推论1 n个未知数n个方程的齐次方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式  。
  下面讨论当齐次方程组有非零解时,方程组通解的结构。为此,先讨论齐次方程组解的性质。
  
  4.1.2 齐次线性方程组解的性质

  我们已知齐次方程组AX=0的解是一个n维向量。
  下面要讨论它的所有解组成的集合 是什么样的集合。
  因为齐次方程组AX=0必有零解,所以0∈V,故V非空。
  性质1 若 都是齐次方程组AX=0的解,则 也是齐次方程组AX=0的解。

  证 。
  性质2 若 是齐次方程组AX=0的解,k是一个数,则 也是齐次方程组AX=0的解。

  证
  以上两条性质说明 是 的一个子空间,所以我们称它为齐次方程组AX=0的解空间。
  如果齐次方程组AX=0只有零解,V={0},否则,我们希望求出它的所有解的一般表达式,即通解。即写出 中所有元素的一般表达式。
  
  4.1.3 齐次线性方程组AX=0的基础解系

   定义4.1.1 设 是齐次线性方程组AX=0的一组解向量。如果它满足:

  (1) 线性无关;
  (2)齐次线性方程组AX=0的的任意一个解 ,都能由它线性表示。
  则称该向量组为齐次线性方程组AX=0的基础解系。
  进一步,要问,对于给定的齐次方程组,满足什么条件时,它有基础解系?基础解系含几个解向量?如何求一个齐次线性方程组的基础解系?如何求出该齐次方程组的通解?看例题
  例1求齐次线性方程组 的所有解。
  【答疑编号12040101】   
 
  
  
 
 

  定理4.1.2 设A是m×n阶矩阵,r(A)=r,则
  (1)当r(A)=r <n时齐次方程组AX=0必有基础解系。
  (2)AX=0的基础解系含n-r(A)个解向量,且AX=0的任意n-r(A)个线性无关的解都是它的基础解系(因为齐次方程组含n-r(A)个自由未知数)。
  (3)如果  是AX=0的一个基础解系,则
   为任意数)
  为AX=0的通解。
  例2设  是齐次方程组AX=0的一个基础解系。证明:
  
  也是AX=0的一个基础解系。
  【答疑编号12040201】      
 
  
  
  例3 求  的基础解系和通解。
  【答疑编号12040202】      
 
  
   
  例4求齐次方程组 的通解。
  【答疑编号12040203】   
  
  
  
 
  例5 证明:同解的齐次线性方程组的系数矩阵必有相等的秩。
  【答疑编号12040204】   
  证 设齐次方程组AX=0与BX=0同解。则两个方程组所含未知数的个数必相等,设为n,且两个方程组的解空间必相同,其维数必相同,
  n-r(A)=n-r(B)
  故r(A)=r(B)。命题得证。
  例6 设A是m×n阶的实矩阵,证明: 
  【答疑编号12040205】      
 
  
 
  例7 设矩阵  和  满足AB=0,证明:r(A)+r(B)≤n
  【答疑编号12040206】    
  
 
  小结:
  1.齐次方程组AX=0有非零解的充分必要条件是r(A)<n (其中n是未知数的个数)。
  2.齐次方程组基础解系的概念,所含解向量的个数,判断向量组是某个齐次方程组基础解系的方法。
  3.求齐次方程组基础解系和通解的方法。
  作业 p116 1,2,3(1)(4)(5),4,5  
  
  4.2 非齐次线性方程组
  
  4.2.1 非齐次线性方程组有解的充要条件
  
  非齐次线性方程组的一般形式是
  
  用矩阵也可简写成
  Ax=b
  其中 。
  我们要讨论的问题是:该非齐次方程组何时有解,有解时,何时解惟一?何时有无穷多解,当有无穷多解时,如何表示其通解?如果
  令
  
  则方程组Ax=b有解的充分必要条件就是向量b能由向量组  线性表出。
  
  为方程组Ax=b的增广矩阵,则用矩阵的秩来描述,有下面的定理。
  定理4.2.1 线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是 。  
 
 
  
  4.2.2 非齐次线性方程组解的结构
  
  一、 非齐次线性方程组解的性质
  (1)如果  都是非齐次方程组Ax=b的解,则  是它的导出组Ax=0的解;

  (2)如果η是非齐次方程组Ax=b的一个解, 是它的导出组Ax=0的解,则  是Ax=b的解。
  
 
  
  二、非齐次线性方程组通解的结构
  定理4.2.2 (1)如果  ,则线性方程组Ax=b有惟一的解;
  (2)如果 ,方程组Ax=b有无穷多解。设 是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解, 是它的导出组Ax=0的基础解系。则
  
  是Ax=b的通解。
  (3)当 +1时,方程组无解。  
 
 
 
  推论 对于n个未知数,n个方程的线性方程组Ax=b。有
  (1)如果  ,则方程组Ax=b有惟一的解  ;
  (2)如果  ,当 时,方程组有无穷多解。

  4.2.3 求非齐次线性方程组通解的方法

  步骤:
  (1)写出方程组的增广矩阵;
  (2)对增广矩阵作初等行变换,将其化为阶梯形;
  (3)确定约束未知数和自由未知数;
  (4)令所有自由未知数都取零,得非齐次方程组的一个特解;
  (5)求出对应齐次方程组(导出组)的基础解系,进而写出原非齐次方程组的通解。

  例1 求 的通解
  【答疑编号12040401】   
 
 
  例2 当参数a为何值时,非齐次方程组
  
  有解?当它有解时,求出它的通解。
  【答疑编号12040402】   
 
 
  例3 证明:线性方程组
  
  有解当且仅当
  【答疑编号12040403】   
 
  例4 下列向量  能否表示成  的线性组合?
  (1)
  【答疑编号12040404】   
 
  (2)
  【答疑编号12040405】   
 
 

  例5 设Ax=b中未知数的个数n=4,r(A)=3。设 为Ax=b的三个解。已知
   。 求Ax=b的通解。
  【答疑编号12040501】    
 
 
  例6 当参数λ为何值时,非齐次方程组
  
  无解?有惟一解?有无穷多解?并求出它的通解。
  【答疑编号12040502】  
  
 
 
 
 
  小结
  1.线性方程组Ax=b何时有解?有解时,何时解惟一?何时有无穷多解?有无穷多解时,如何表示其通解;
  2.线性方程组Ax=b是否有解,解是否惟一与向量b能否由向量组  线性表示的关系;
  3.线性方程组Ax=b的解的性质;
  4.非齐次方程组Ax=b的通解的公式,求非齐次方程组通解的方法。
  P86 习题3.1 3(1)(3),4,5,p125 习题4.2 1(1)(3)(4)(6)3(1),4,6,
  
  本章总结
  1.齐次方程组Ax=0有非零解的充分必要条件;
  2.齐次方程组Ax=0的基础解系的概念,基础解系所含解向量的个数,判断向量组是否为齐次方程组基础解系的方法;
  3.求齐次方程组的基础解系和通解的方法。
  4.线性方程组Ax=b何时无解?何时有解?有解时,何时解惟一?何时有无穷多解?有无穷多解时,如何求其通解。

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