山西自考线性代数(经管类)复习资料下载2

山西自考网 发布时间:2012年06月05日

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第二部分 矩阵

  本章概述
  矩阵是线性代数的重要内容,也是研究线性方程组和其它各章的主要工具。主要讨论矩阵的各种运算的概念和性质。在自学考试中,所占比例是各章之最。按考试大纲的规定,第二章占26分左右。而由于第三,四,五,六各章的讨论中都必须以矩阵作为主要工具,故加上试题中必须应用矩阵运算解决的题目的比例就要占到50分以上了。以改版后的三次考试为例,看下表
    按考试大纲所占分数 07.4 07.7 07.10
直接考矩阵这一章的 26分左右 31分 34分 38分
加上其它章中必须用矩阵运算的所占分数   51分 53分 67分
  由此矩阵这一章的重要性可见一般。

  2.1 线性方程组和矩阵的定义
  
  2.1.1 线性方程组

  n元线性方程组的一般形式为
   
  特别若 ,称这样的方程组为齐次方程组。
  称数表 为该线性方程组的系数矩阵;
  称数表 为该线性方程组的增广矩阵。
  事实上,给定了线性方程组,就惟一地确定了它的增广矩阵;反过来,只要给定一个m×(n+1)阶矩阵,就能惟一地确定一个以它为增广矩阵的n个未知数,m个方程的线性方程组。
  例1 写出下面线性方程组的系数矩阵和增广矩阵
  
  【答疑编号12020101】
 
  例2 写出以下面矩阵为增广矩阵的线性方程组
   
  【答疑编号12020102】
 

  2.1.2 矩阵的概念

  一、矩阵的定义
  定义2.1.1 我们称由mn个数 排成的m行n列的数表
   
  为m×n阶矩阵,也可记为 为矩阵A第i行,第j列的元素。 注意:矩阵和行列式的区别。

  二、几类特殊的矩阵
  1.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵,记为O。
  例如 都是零矩阵。
  2.若A的行数m=1,则称 
  为行矩阵,也称为n维行向量。
  若A的列数n=1,则称 为列矩阵,也称为m维列向量。
  3.若矩阵A的行数=列数=n,则称矩阵A为n阶方阵,或简称A为n阶阵。
  如n个未知数,n个方程的线性方程组的系数矩阵。
  4.称n阶方阵 为n阶对角阵。
  特别若上述对角阵中, ,
  称矩阵 为数量矩阵,
  如果其中λ=1,上述数量阵为 ,称 为n阶单位阵。
  5.上(下)三角阵
  称形如 的矩阵为上(下)三角矩阵。

  2.2 矩阵的运算

  这节介绍
  (1)矩阵运算的定义,特别要注意,矩阵运算有意义的充分必要条件;
  (2)矩阵运算的性质,要注意矩阵运算与数的运算性质的异同,重点是矩阵运算性质与数的运算性质的差别。

  2.2.1 矩阵的相等

  为建立矩阵运算的概念,先说明什么叫两个矩阵相等。
  定义2.2.1如果矩阵A,B的阶数相同,即行数、列数都相同,则称矩阵A与B同型;若A与B同型,且对应元素都相等,则称矩阵A与B相等,记为A=B。
  请注意区别两个矩阵相等和两个行列式相等
  例如 虽然行列式有
  但矩阵 ; ; 。

  2.2.2 矩阵的加减法

  定义2.2.2 设A与B都是m×n阶矩阵(即A与B同型), ,则矩阵A与B可以相加(相减),其和(差)定义为m×n阶矩阵   
  
  例1设 求A+B、A-B。
  【答疑编号12020103】
 
  例2 则A与B不能相加(减),或说A±B无意义。
  加法运算的性质
  设A,B,C都是m×n阶矩阵,O是m×n阶零矩阵,则
  1.交换律 A+B=B+A。
  2.结合律 (A+B)+C=A+(B+C)。
  3.负矩阵 对于任意的m×n阶矩阵
  
  定义 ,显然A+(-A)=O;A-B=A+(-B)。

  2.2.3 数乘运算

  定义2.2.3 数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ,定义为
   
  例3 设 ,求3A。
  【答疑编号12020104】
  解 
  例4 设 ,求3A-2B。
  【答疑编号12020105】
 
  例5 已知 ,求2A-3B。
  【答疑编号12020106】
 
  数乘运算满足:
  1.1•A=A
  2.设k,l是数,A是矩阵,则k(lA)=(kl)A
  3.分配律 k(A+B)=Ka+kB;(k+l)A=kA+la
  例6 已知 ,且A+2X=B,求X。
 

  2.2.4 矩阵的乘法

  先介绍矩阵乘法的定义,后面再介绍为什么这样定义乘法。

  一、定义
  定义2.2.4 设矩阵 ,(注意:A的列数=B的行数)。定义A与B的乘积为一个m×n阶矩阵 ,其中 (i=1,2,……m,j=1,2, …n)
  
  可见,矩阵A,B可以相乘的充分必要条件是A的列数=B的行数,乘积矩阵C=AB的行数=A的行数;其列数=B的列数。

  例如
  则A,B可以相乘,其乘积 其中
 
  例7设矩阵
  【答疑编号12020201】
 
  问BA有意义吗?
  无意义。因为第一个矩阵的列数不等于第二矩阵的行数,所以BA无意义。
  例8
  (1)设矩阵
  (2)
  求AB;BA
  【答疑编号12020202】
 
  此例说明 AB,BA虽然都有意义,但两矩阵不同型,当然不相等。
  例9设矩阵 ,求AB,BA。
  【答疑编号12020203】
 
  为什么这样定义乘法?
  考虑线性方程组
  设 ,则
   ,于是线性方程组(1)
  就可以写成矩阵形式AX=b。
  这表明,应用这种方法定义矩阵乘法,可以把任意线性方程组写成与一元一次方程ax=b完全相同的形式,使整个的讨论变得简单了。

  二、性质
  (1)乘法没有交换律,AB不一定等于BA。
  (2)结合律 (AB)C=A(BC)
  (3)分配律 (A+B)C=AC+BC;A(B+C)=AB+AC
  (4)数乘与乘法的结合律k(AB)=(kA)B=A(kB)
  (5)单位矩阵的作用
    。
  另一部分的证明请同学们自己作。
  但对于某些特殊的矩阵(方阵)满足AB=BA,我们称它们是乘法可交换的,例如n阶方阵A与n阶单位阵就可交换。
  例10 设矩阵 ,求出所有与A乘积可交换的矩阵。
  【答疑编号12020204】
 
;

  2.2.5 方阵的幂

  设A是一个矩阵, 何时有意义?
  当且只当A为n阶方阵时, 有意义。这时,对k≥2定义
  
  称 为A的k次幂。
  例11 数学归纳法证明
  
  【答疑编号12020301】
 
  (2)
  【答疑编号12020302】
 
  对于数,幂的运算有下列性质:
  (1)同底幂相乘,指数相加。即 ;
  (2) ;
  (3)
  对于方阵的幂有下列性质:
  (1) 。
 
  对于数,为什么
 
  所以对于n阶方阵 不一定等于 。
  根据矩阵乘法和方阵幂的性质,数的乘法公式有下面的变化:
 
   一般不等于 。
   一般不等于 。
  这些变化的原因就在于矩阵乘法没有交换律。
  但对于某些特殊的矩阵满足AB=BA,例如
  n阶方阵A与n阶单位阵就可交换,所以
  请思考
  例12 设 求 。
  【答疑编号12020303】
 
  例13 设 ,求 。
  【答疑编号12020304】
 
  例14 设 。
  【答疑编号12020305】
 

  小结 矩阵乘法和数的乘法性质的区别:
  (1)矩阵乘法没有交换律,由此引出乘法公式:如 , 不一定等于 等公式的变化;
  (2)对于矩阵:两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵;
  (3)对于方阵 ,可能 可能 ,…
  (4) 不一定等于 。

  2.2.6 矩阵的转置

  一、定义
  定义2.2.5设 。将其行列互换,所得的矩阵记为 称它为A的转置,即 显然,m×n阶矩阵A的转置 是n×m阶。

  二、性质

  1. ;
  2. ;
  3. ;
   现看下面的例
 
  例15 设 ,求 ;问 哪个有意义,若有意义,求它的乘积矩阵。
  【答疑编号12020306】
  解 
   没有意义。 有意义,且
  所以
  一般, ,则AB是m×n阶的。 是k×m阶, 为n×k阶,故 不一定有意义。但  有意义。可以证明
  4.(反序律) 。

  三、对称阵和反对称阵
  定义 设A为n阶实方阵。如果满足 ,则称A为实对称(反对称)阵。
  例16  为实对称阵; 为反对称阵。
  例17 证明:任意n阶方阵A都可以惟一地分解为一个对称阵和一个反对称阵的和。
  【答疑编号12020307】
 
  例18证明:设A,B都是n阶对称阵,证明AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA。
  【答疑编号12020308】
  扩展 改为 设A,B都是n阶反对称阵, 证明AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA。
 

  2.2.7 方阵的行列式

  一阶方阵和一阶行列式都是数,但当n≥2以后,矩阵和行列式是两个不同的概念,矩阵是一个数表,可以是方的也可以是长方的。对于n阶方阵,可以对它取行列式,但行列式已不仅是数表,而它的值是一个数。
  性质:

  1. ;
  2. ;
 
  3. 。
  于是容易看出,虽然AB不一定等于BA,但 。
  例19 证明奇数阶的反对称阵的行列式等于零。
  【答疑编号12020309】
 

  2.2.8 方阵多项式

  任意给定多项式 和一个n阶方阵A。
  定义
  称f(A)为A的方阵多项式。
  例20 设 求f(A)。
  【答疑编号12020310】
 

  小结
  1.矩阵各种运算的定义(包括运算有意义的充分必要条件);
  2.各种运算的性质(特别是与数的运算性质的相同点和不同点,尤其是不同点)
  作业 p47 习题2.2 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

  2.3 方阵的逆矩阵
 

  2.3.1 逆矩阵的定义

  定义2.3.1 设A是一个n阶方阵。若存在一个n阶方阵B使得 。
  则称A是可逆矩阵,也称非奇异阵。并称 。
  若这样的B不存在,则称A不可逆。
  定理2.3.1 可逆矩阵A的逆矩阵是惟一的。
  证 设 都是A的逆矩阵。则 。
  例1  ,验证A可逆,且 。
  【答疑编号12020401】
  只要看
  容易看出,这时B也可逆,且 。
  例2  不可逆。
  【答疑编号12020402】
  解 设 ,则 。故 不可逆。

  2.3.2 n阶方阵可逆的充分必要条件

  为讨论n阶方阵可逆的充分必要条件,现引入方阵的伴随矩阵的概念
  定义 设 , 为 的代数余子式 ,则称
  
  为A的伴随矩阵,记为 。
  下面计算
  
  类似地,有 。
  若 ,有 。于是有下面的定理。
  定理2.3.2 n阶方阵A可逆的充分必要条件是 ,且当 时, 。
  证 充分性已经得证。只要证必要性。
  设n阶方阵A可逆,据定义知,存在n阶方阵B使得AB=BA=E
  取行列式得 ,故 ,必要性得证。
  推论 设A,B均为n阶方阵,并且满足AB=E,则A,B都可逆,且 。
  推论的意义是,不必验证两个乘积AB,BA,而只要验证一个即可。
  证 因为 AB=E,故 ,所以  。故A,B都可逆。
  由 AB=E 两边左(右)乘 ,得 ,于是有 。

  2.3.3 可逆矩阵的基本性质

  设A,B为同阶可逆矩阵。常数k≠0。则
  1. 可逆,且 。
  2.AB可逆, 。
 
  
  3.  也可逆,且 。
 
  4.kA也可逆,且 。
 
  5.消去律 设P是与A,B同阶的可逆矩阵,若PA=PB,则A=B。
  若a≠0,ab=ac则b=c。
  但
  而
 
 
  6.设A是n阶可逆方阵。定义  ,并定义 。则有 ,其中k,l是任意整数。
  7.设 是 阶可逆方阵,则 。
 
  例3 设 ,问a,b,c,d满足什么条件A可逆?这时求
  【答疑编号12020403】
 
 
0204到此结束
 例4 判断矩阵
   是否可逆?若可逆,求出它的逆矩阵。
  【答疑编号12020501】
 
 
  例5 设A是n阶方阵,则 。
  【答疑编号12020502】
 
  例6 设A为n阶方阵,则当P为可逆矩阵时,A为对称矩阵 为对称矩阵。
  【答疑编号12020503】
 
  例7 设n阶方阵A满足 ,求 和 的逆矩阵。
  【答疑编号12020504】
 
  例8 设A是三阶 矩阵,其行列式 ,求行列式 的值。
  【答疑编号12020505】
 
  例9 设n阶方阵A满足 ,证明 。
  【答疑编号12020506】
 
  例10 设n阶方阵A满足 ,其中m为正整数,求出 的逆矩阵。
  【答疑编号12020507】
 
  例11 设A为n阶可逆阵,证明:
  (1)    (2)
  【答疑编号12020508】
 
  小结
  1.n阶方阵A可逆的充分必要条件是 。
  2.A的伴随矩阵 的定义及重要公式(1) ,(2)当 时 。
  3.重要结果 若n阶方阵A,B满足AB=E,则A,B都可逆,且 。
  4.逆矩阵的性质(主要是说明求逆运算与矩阵其他运算的关系)

  2.4 分块矩阵

  2.4.1 分块矩阵的概念
  
  对于行数列数较高的矩阵A,为运算方便,经常采用分块法处理。 即可以用若干条横线和竖线将其分成若干个小矩阵。每个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
  例1 对3×4阶矩阵 ,可以采用很多方法分块。
  【答疑编号12020601】
  如:分成  ,这时可记为 ,其中
  
  也可以分成
   ;
   称为列分块矩阵。
  例2 对于 ,可按下面方法分块
  【答疑编号12020602】
   ,记成
   其中 ,

  2.4.2 分块矩阵的运算
  1.加减法 同型矩阵A,B采用相同的分块法,有
  
  则
  
  2.分块矩阵的数乘
  设 ,则 。
  3.分块矩阵的转置
  例3 
  
  一般,如果
  
  4.分块矩阵的乘法
  设矩阵A的列数=B的行数,如果对A,B适当分块,使
   。则
  其中 。
  所谓适当分块是指保证上述出现的所有乘法都有意义。
  例4 设A为m×k阶矩阵,B为k×n阶矩阵,则AB为m×n阶矩阵。若把矩阵B分成
  

  2.4.3 几个特殊的分快矩阵的运算

  (1)准对角矩阵
  方阵的特殊分块矩阵
  形如
  的分块矩阵称为分块对角阵或准对角阵,其中, 均为方阵。
  (2)两个准对角(分块对角)矩阵的乘积
  
  则
  (3)准对角矩阵的逆矩阵 若 均为可逆阵。
   可逆,且 。
  例5 求 的逆矩阵。
  【答疑编号12020603】
 
  (4)准上(下)三角矩阵的行列式
   。
  可以证明
  例6 设A,D是任意可逆矩阵,验证
  【答疑编号12020604】
 
  例7 求矩阵 的逆矩阵。
  【答疑编号12020605】
 
  小结 分块的原则,保证运算有意义。

  2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵
  
  2.5.1 矩阵的初等变换

  一、背景
  例1 解线性方程组
  
  
  解
  (2)+(-1)(1);(3)+(-1)(1);(4)+(-2)(1)得
  
  
  (3)+(-1)(2);(4)+(-1)(2)得
  
  
  
  (2)+(-2)(3)得
  
  (1)+(-1)(2)+(-3)(3)得
  
  上述解方程的过程可改为只对方程的增广,以 为增广矩阵的方程组的解即为矩阵做相应的行变换来实现。
   。
  定义2.5.1(线性方程组的初等变换)
  称下列三种变换为线性方程组的初等变换。
  (1)两个方程互换位置;
  (2)用一个非零的数乘某一个方程;
  (3)把一个方程的倍数加到另一个方程上。
  显然,线性方程组经初等变换后所得的新方程组与原方程组同解。
  事实上,上述解线性方程组的过程,只要对该方程组的增广矩阵做相应的行变换即可。

  二、矩阵初等变换的定义
  定义2.5.2 分别称下列三种变换为矩阵的第一、第二、第三种行(列)初等变
  (1)对调矩阵中任意两行(列)的位置;
  (2)用一非零常数乘矩阵的某一行(列);
  (3)将矩阵的某一行(列)乘以数k后加到另一行(列)上去。
  把行初等变换和列初等变换统称为初等变换。
  定义2.5.3如果一个矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B,则称A与B等价,记为A~B。
  等价具有反身性 即对任意矩阵A,有A与A等价;
  对称性 若A与B等价,则B与A等价
  传递性 若A与B等价,B与C等价,则A与C等价。
  定理2.5.1 设线性方程组的增广矩阵 经有限次的初等行变换化为 ,则以 与 为增广矩阵的方程组同解。

  三、矩阵的行最简形式和等价标准形
  简单地说,就是经过行初等变换可以把矩阵化成阶梯型,进而化成行最简形,而经过初等变换(包括行和列的)可以把矩阵化成等价标准形。
  例2 对矩阵A作初等行变换,其中 。
  【答疑编号12020801】
 
  阶梯形矩阵的定义:满足
  (1)全零行(若有)都在矩阵非零行的下方;
  (2)各非零行中从左边数起的第一个非零元(称为主元)的列指标j随着行
  指标的增加而单调地严格增加的矩阵称为阶梯形矩阵。(每个阶梯只有一行)
 
  行最简形式
  以称满足(1)它是阶梯形;(2)各行的第一个非零元都是1;(3)第一个非零元所在列的其它元素均为零的矩阵为行最简形式。
  例3(1) 是阶梯形;(2) 这不是阶梯形。
  如上例中最后所得的矩阵 。
 
  若允许再作初等列变换可继续得
  这最后的式子就是A的等价标准形。一般,任何一个矩阵的等价标准形都是分块对角阵 ,也可能为 或 。
  定理2.5.2任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式,经有限次初等变换(包括行及列)化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定,而与所做的初等变换无关。

   例4 将矩阵 化成行最简形式和标准形。
  【答疑编号12020802】
 

  2.5.2 初等方阵

  定义2.5.4 对单位阵施行一次初等变换所得到的矩阵称为初等方阵。
  以三阶方阵为例
  第一种:
  第二种:
  第三种: 
  显然,初等阵都是非奇异阵。注意
  
 
  
 
  
  所以初等阵的逆矩阵为同类的初等阵。
  初等矩阵与初等变换之间有密切的联系。
  例5 对于 
  【答疑编号12020901】  
 
  定理2.5.3设A是一个m×n阶的矩阵,则
  (1) 对A做一次初等行变换,就相当于用一个与这个初等变换相应的m阶初等矩阵左乘A;
  (2) 对A做一次初等列变换,就相当于用一个与这个初等变换相应的n阶初等矩阵右乘A;
  推论1 方阵经初等变换其奇异性不变。
  定理2.5.4对于任意的m×n阶矩阵A,总存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得 
  证 因为m×n阶矩阵A,总可以经过有限限次的初等行变换和初等列变换化成标准型,又因为初等变换和矩阵乘法的关系,容易证明此定理。
  推论2 n阶可逆阵(非奇异阵)必等价于单位阵。
  因为否则,其等价标准形不可逆。
  定理2.5.5 n阶方阵A可逆的充分必要条件是A能表示成若干个初等阵的乘积。
  证 充分性是显然的。下面证必要性。
  “ ”已知A为n阶可逆阵,则A与 等价,故存在有限个n阶初等阵 ,即  ,亦即A能表示成有限个初等矩阵的乘积。必要性得证。
  推论3 任意可逆阵A(非奇异阵)只经过有限次的初等行(列)变换就能化成单位阵。
  证 因为A可逆,故存在可逆阵 使得 ,从而存在有限个初等阵 使得 ,故 。
  所以A只经过有限次的初等行变换就能化成单位阵。

  2.5.3 用初等变换法求逆矩阵

  因为任意非奇异阵 只经行初等变换就可化成单位阵,即
  则 
  这表明,当对A作初等行变换将A变成单位矩阵E时,若对单位矩阵做完全相同的初等变换则单位矩阵E将变成 。于是有求逆矩阵的初等变换法:
  写出分块矩阵 作初等行变换,当A化成单位阵时,E就化成为 。
  例6 求方阵 的逆矩阵。
  【答疑编号12020902】  
 
  
 

  2.5.4 用初等变换法求解矩阵方程 
  
 
  一元一次方程的标准形 ax=b(a≠0)
  矩阵方程的三种标准形
  (1)AX=B (2)XA=B
  (3)AXB=C则
  解法:对第一类
  作分块矩阵 对A作初等行变换,当A变成单位阵时,由于B做的是同样的初等行变换,则得到的是 。
  例7求解矩阵方程
  【答疑编号12021001】  
 
  解 :
     
  
  
  所以 。  
  对于第二类的可先转化为第一类的 ,即由 两边转置得
  按上例的方法求出 进而求出X
  例8求解矩阵方程
  【答疑编号12021002】  
 
  思考 如何解方程 AXB=C
  设 Y=XB,得方程AY=C,解出Y,进一步解方程XB=Y (这时Y为已知。)
  小结 本节主要内容:
  1.矩阵初等变换的定义;
  2.初等矩阵的定义和性质:(1)初等矩阵必可逆;(2)初等矩阵之积为可逆阵;(3)n阶方阵A可逆的充分必要条件是A能表示成有限个初等矩阵之积。
  3.初等变换的性质
  (1)定理2.5.1 设线性方程组的增广矩阵 经有限次的初等行变换化为 ,则以 与 为增广矩阵的方程组同解。
  (2)定理2.5.2任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式,经有限次初等变换(包括行及列)化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定,而与所做的初等变换无关。
  (3) 定理2.5.3设A是一个m×n阶的矩阵,则
  对A做一次初等行(列)变换,就相当于用一个m(n)阶的与这个初等变换相对应的初等矩阵左乘(右乘)A;
  (4)定理2.5.4对于任意的m×n阶矩阵A,总存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得 。
  (5)对n阶方阵A,初等变换不改变其奇异性。

  习题类型:
  1.熟练掌握用行变换将矩阵化为阶梯形,行最简形和用初等变换化成标准形的方法;
  2.熟练掌握用初等变换法求逆矩阵和求解矩阵方程
  作业 p69 1,2(1)(3)(5),3(2)(3)(4),4

  2.6 矩阵的秩

  先介绍矩阵的k阶子式的概念
  给定矩阵   
 
  A的每个元素都是它的一阶子式,
  定义2.6.1 矩阵A的最高阶非零子式的阶数称为该矩阵的秩。记为r(A),有时也记为 秩(A)。
  事实上,如果A有一个r阶子式不等于零,而所有r+1阶子式都等于零,则r(A)
  例1求矩阵 的秩。
  【答疑编号12021101】  
 
  上述求秩的方法很繁,是否有更简便的方法求矩阵的秩。
  例2显然 的秩等于r。
  例3, 则r(A)=2。
  定理2.6.1 初等变换不改变矩阵的秩。
  推论 设A为m×n阶矩阵,P,Q分别为m,n阶可逆矩阵,则
  r(PA)=r(A),r(AQ)=r(A),r(PAQ)=r(A)。
  例4求矩阵 的秩。
  【答疑编号12021102】  
 
  此例说明可以用初等变换法求矩阵的秩(只要经初等变换化成阶梯形,其秩就等于非零行的个数)。
  例5求矩阵 的秩。
  【答疑编号12021103】  
 
  一般,如果n阶方阵A的秩等于它的阶数,则称该矩阵是满秩的,否则称它为降秩的。显然,n阶方阵A满秩的充分必要条件是A可逆。(可逆阵的各种说法:可逆,非异,满秩)。
  小结这一节主要是掌握矩阵秩的概念和用初等变换法求矩阵的秩。
  说明 2.7的内容放到第四章讲。
  作业 p75 习题2.6 1(2)(3)(4),3
  
  第二章 总 结
  1.矩阵运算有意义的充分必要条件;矩阵运算的定义;
  2.矩阵运算的性质,特别是比较矩阵运算性质与数的运算性质的相同点和不同点,特别是不同点;
  3.方阵可逆的充分必要条件以及判断方阵可逆的方法;
  4.矩阵的初等变换和初等矩阵的概念,用初等变换法求逆矩阵和矩阵方程的解;
  5.矩阵的秩的概念和求矩阵秩的方法。

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